Одним из способов решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) с постоянными коэффициентами является метод интегральных преобразований, который позволяет функцию вещественной переменной (оригинал функции) заменить функцией комплексной переменной (изображение функции). В результате операции дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов преобразуются в алгебраическое умножение и деление в пространстве функций-изображений. Одним из представителей метода интегральных преобразований является Преобразование Лапласа.
Непрерывное преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексной переменной (изображение функции) с функцией вещественной переменной (оригинал функции). При этом функция вещественной переменной должна удовлетворять следующим условиям:
Функция определена и дифференцируема на всей положительной полуоси вещественной переменной (функция удовлетворяет условиям Дирихле);
Значение функции до начального момента приравнивают к нулю 
;
Возрастание функции ограничена экспоненциальной функцией, т.е. для функции вещественной переменной существуют такие положительные числа М
и с
, что 
при , где c
– абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).
Преобразованием Лапласа (прямое интегральное преобразование) от функции вещественной переменной называется функция следующего вида (функция от комплексной переменной):
Функцию называют оригиналом функции, а функцию называют ее изображением. Комплексная переменная 
называется оператором Лапласа, где - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число.
В качестве первого примера определим изображение для постоянной функции 
В качестве второго примера определим изображение для косинусоидальной функции 
. С учетом формулы Эйлера косинусоидальную функцию можно представить в виде суммы двух экспонент 
.
На практике для выполнения прямого преобразования Лапласа используются таблицы преобразований, в которых представлены оригиналы и изображения типовых функций. Ниже представлены некоторые из данных функций.
Оригинал и изображение для экспоненциальной функции
Оригинал и изображение для косинусоидальной функции
Оригинал и изображение для синусоидальной функции
Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего косинуса
Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего синуса
Следует отметить, что функция является функцией Хевисайда, которая принимает значение ноль при отрицательных значениях аргумента и принимает значение равное единице для положительных значений аргумента.
Свойства Преобразования Лапласа
Теорема линейности
Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. любое линейное соотношение между оригиналами функции справедливо для изображений этих функций.
Свойство линейности упрощает нахождение оригиналов сложных изображений, так как позволяет изображение функции представить в виде суммы простых слагаемых, а затем найти оригиналы каждого представленного слагаемого.
Теорема о дифференцировании оригинала функции
Дифференцирование оригинала функции соответствует умножению
При ненулевых начальных условиях:
При нулевых начальных условиях (частный случай):
Таким образом, операция дифференцирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.
Теорема об интегрировании оригинала функции
Интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения функции на оператор Лапласа.
Таким образом, операция интегрирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.
Теорема подобия
Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) во временной области приводит к обратному изменению аргумента и ординаты изображения функции.
Увеличение длительности импульса вызывает сжатие его спектральной функции и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра.
Теорема запаздывания
Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу оригинала функции на интервал приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на заданную величину без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.
Полученное выражение справедливо для любого
Теорема смещения
Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу изображения функции приводит к умножению оригинала функции на экспоненциальный множитель
Теорема смещения с практической точки зрения применяется при определении изображений экспоненциальных функций.
Теорема о свертке
Свертка является математической операцией, применённая к двум функциям и , порождающая третью функцию. Другими словами, имея реакцию некой линейной системы на импульс, можно с помощью свёртки вычислить реакцию системы на весь сигнал.
Таким образом, свертка оригиналов двух функций может быть представлена в виде произведения изображений этих функций. Теорему сверки используют при рассмотрении передаточных функций, когда определяется реакция системы (выходной сигнал от четырехполюсника) при подаче сигнал на вход четырехполюсника с импульсной переходной характеристикой .
Линейный четырехполюсник
Обратное преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа является обратимым, т.е. функция вещественной переменной однозначно определяется из функции комплексной переменной . Для этого используется формула обратного преобразования Лапласа (формула Меллина, интеграл Бромвича), которая имеет следующий вид:
В данной формуле пределы интегрирования означают, что интегрирование идет по бесконечной прямой, которая параллельна мнимой оси и пересекает вещественную ось в точке . С учетом того, что последние выражение может быть переписано в следующем виде:
На практике для выполнения обратного преобразования Лапласа изображение функции раскладывают на сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов и для каждой дроби (в соответствии со свойством линейности) определяют оригинал функции, в том числе с учетом таблицы типовых функций. Данный способ справедлив для изображения функции, которая является правильной рациональной дробью. Следует отметить, что простейшая дробь может быть представлена в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами в зависимости от типа корней знаменателя:
В случае наличия нулевого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:
В случае наличия нулевого n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
В случае наличия действительного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:
В случае наличия действительного n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
В случае наличия мнимого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
В случае наличия комплексно-сопряжённых корней 
в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
∙ В общем случае если изображение функции представляет собой правильную рациональную дробь (степень числителя меньше степени знаменателя рациональной дроби), то ее можно разложить на сумму простейших дробей.
∙ В частном случае если знаменатель изображения функции раскладывается только на простые корни уравнения, то изображение функции можно разложить на сумму простейших дробей следующим образом:
Неизвестные коэффициенты могут быть определены методом неопределённых коэффициентов или упрощенным способом по следующей формуле:
Значение функции в точке ;
Значение производной функции в точке .
Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье с ядром K(t, О = е Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t, Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения. Определение 1. Функцией-оригиналом будем называтьвсякую комплекснозначную функцию f(t) действитсл ьного аргумента t, удовлетворя юшую следующим условиям: 1. f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем накаждом конечном интервалеоси *такихточек можетбыть лишь конечное число; 2. функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при 3. при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют числа М > 0 и s такие, что для всех t Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = aj, то оно будет ВЫПОЛНЯТЬСЯ и при ВСЯКОМ 82 > 8]. Точная нижняя грань s0 всех чисел з, «о = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t). Замечание. В общем случае неравенство не имеет места, но справедлива оценка где е > 0 - любое. Так, функция имеет показатель роста в0 = Для нее неравенство \t\ ^ М V* ^ 0 не выполняется, но верно неравенство |f| ^ Меи. Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*). Пример 1. функция не удовлетворяет условию (»), но условие (1) выполнено при любом s ^ I и А/ ^ I; показатель роста 5о = Так что является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, «о = +оо. Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Если некоторая функция удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение уже является функцией-оригиналом. Для простоты записи мы будем, как правило, множитель rj(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t), например, о sin ty cos t, el и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2): п=п(0 Рис. 1 Определение 2. Пусть f{t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определяемая формулой ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции /(/); ядро преобразования K(t} р) = e~pt. Тот факт, что функция имеет своим изображением F(p), будем записывать Пример 2. Найти изображение единичной функции r)(t). Функция является функцией-оригиналом с показателем роста в0 - 0. В силу формулы (2) изображением функции rj(t) будет функция Если то при интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим так что изображением функции rj(t) будет функция £. Как мы условились, будем писать, что rj(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так: Теорема 1. Лгя всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста з0 изображение F(p) определено в полуплоскости R ер = s > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3). Пусть Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при a > Используя (3), получаем что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2). Применяя для F"(p) интегрирование по частям, получаем оценку откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое,0.,- при t +оо имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Rep ^ sj > «о интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо. Поскольку производная F"(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Rep = 5 > 5о является аналитической функцией. Из неравенства (4) вытекает Следствие. Если тонка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то Пример 3. Найдем еще изображение функции любое комплексное число. Показатель росга «о функции /(() равен а. 4 Считая Rep = я > а, получим Таким образом, При а = 0 вновь получаем формулу Обратим внимание на то, что изображение функции eat является аналитической функцией ар1умента р не только в полуплоскости Rep > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Rep > «о функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Rep = so, или на самой этой прямой. Замечай не. В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции /(f) по Хевисайду, определяемым равенством и отличающимся от мображения по Лапласу множителем р. §2. Свойства преобразования Лапласа В дальнейшем через будем обозначать функции-оригиналы, а через - их изображения по Лапласу, Из определения изображения следует, что если Теорема 2 (единстве* мости). £biw dee непрерывные функции) имеют одно и тоже изображение, то они тождественно равны. Teopewa 3 (п«иейиост* преобраэдоияя Лапласа). Если функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных аир Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение: , - показатели роста функций соответственно). На основании этогосвойства получаем Аналогично находим, что и, далее, Теорема 4 (подобия). Если f(t) - функция-оригинал и F(p) - ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > О Полагая at = т, имеем Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Пусть является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть - также функции-оригиналы, а где - показатель роста функции Тогда и вообще Здесь под понимается правое предельное значение Пусть. Найдем изображение Имеем Интегрируя по частям, получаем Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при к. при Rc р = s > з имеем подстановка t = Одает -/(0). Второе слагаемое справа в (10) равно pF{p). Таким образом, соотношение (10) принимает вид и формула (8) доказана. В частности, если Для отыскания изображения f(n\t) запишем откуда, интегрируя п раз по частям, получи м Пример 4. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin2 t. Пусть Следовательно, Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р. Формула включения. Если являются функциями-оригиналами, то В самом деле, В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при. Значит, откуда вытекает формула включения (Теорема 6 (о дифференцировании изображения). Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала, Так как функция F(p) в полуплоскости so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем Последнее как раз и означает, что Пример 5. Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции 4 Как известно, Отсюда (Вновь применяя теорему 6, найдем, вообще Теорема 7 (интегрирование оригинала). Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Положим Нетрудно проверить, что если есть функция-оригинал, то и будет функцией-оригиналом, причем. Пусть. В силу так что С другой стороны, откуда F= Последнее равносильно доказываемому соотношению (13). Пример 6. Найти изображение функции M В данном случае, так что. Поэтому Теорема 8 (интегрирование изображения). Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции ^: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений Действительно, Предполагая, что путь интегрирования лежите полуплоскости so, мы можем изменить порядок интегрирования Последнее равенство означает, что является изображением функции Пример 7. Найти изображение функции М Как известно, . Поэтому Так как Положим получаем £ = 0, при. Поэтому соотношение (16) принимает вид Примере. Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис.5). Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде: Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию и вычтем из нее функцию Разность будет равна единице для. К полученной разности прибавим функцию В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем Теорема 10 (смещения). то для любого комплексного числа ро В самом деле, Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию, например, 2.1. Свертка функций. Теорема умножения Пусть функции /(£) и определены и непрерывны для всех t. Сверткой этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством (если этот интеграл существует). Для функций-оригиналов операция свертим всегда выполнима, причем (17) 4 В самом деле, произведение функций-оригиналов как функция от т, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка. Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна, Теорема 11 (умножения). Если, то свертка t) имеет изображение Нетрудно проверить, что свертка (функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста » где, - показатели роста функций соответственно. Найдем изображение свертки, Воспользовавшись тем, что будем иметь Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим Таким образом, из (18) и (19) находим - умножению изображений отвечает свертывание оригиналов, Пртер 9. Найти изображение функции А функция V(0 ость свортка функций. В силу теоремы умножения Задача. Пусть функция /(£), пориодическая с периодом Т, есгъ функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F(p) дается формулой 3. Отыскание оригинала по изображению Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости so функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости R s0 равномерно относительно arg р; 2) интеграл сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала Задача. Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F{p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции 4 Запишем F(p) в виде Отсюда 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). Если функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }